板成形CAEの裏側を8回で読み解くコラム
AutoFormは塑性工学や計算力学的知識がなくても使いこなせることが強みのソフトウェアではありますが、ユーザーになった瞬間にソフトウェアについての説明を求められることも少なくありません。本稿では、FEMの考え方、変位・ひずみ、要素、薄板モデル、材料応答、非線形性をつなぎ、最終的に利用者から最も質問を受ける「解法の違い」について完全なブラックボックス状態から一歩だけ脱却することを目的とします。
全体構成
読み方の前提
• この連載は、数式を厳密に追うよりも「FEMが何を近似しているか」をつかむことを目的にしています。
• 内容は板成形CAEを念頭に置き、ソフトウェアのユーザー最初に持つべき全体像のみに絞っています。
• 8回まで読むと、要素とは何か、材料試験の大切さ、非線形性、解法などの理解が一歩進むことを目指します。
注意点
•本稿は、数式を厳密に導出するのではなく、FEMの全体像をつかむことを目的としています。そのため、説明を簡略化し、適用範囲や例外を省いています。学問として理解したい場合は、専門書、学会や非線形CAE勉強会、CAE技術者試験など、学術的裏付けのある体系的教育を受けていただくことをお勧めします。また説明のおおよその流れは以下の書籍を参考にしていますが、本稿独自の簡略表現を多分に含みます。
参考書籍：https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-540-88113-1
第2回 移動したのか、変形したのか？
変位とひずみはどうつながっているか
前回は、板を連続体として考え、その中の無限小の点（物質点）の動きを追うという話をしました。今回は、その物質点が「動く」とはどういうことか、そして「変形する」とはどういうことかを整理します。この2つを混同すると、FEMは一気にブラックボックスになります。
1. 「動いた」と「変形した」は同じではない
板全体を、そっと右に10 mmスライドさせたとします。このとき板の形は変わっていません。物質点は動いていますが、板は変形していません。つまり、動いたことと変形したことは同じではありません。連続体力学やFEMでは、この違いを明確に区別します。
板が動いた？変形した？
2. 変位とは「どこに移動したか」
FEMで最初に扱う量は変位です。変位とは、物質点が成形前の位置からどれだけ移動したかを表す量です。第1回で出てきた式をもう一度見てみましょう。
x=x(X,t)
Xが成形前の位置、xが時刻tの位置でした。ここから、次のように定義したものが変位です。
u=x-X
重要なのは、変位はあくまで位置の変化だという点です。
3. 変位だけでは「形の変化」は分からない
変位が分かれば、板の変形も分かるのでしょうか。答えはNOです。なぜなら、板全体が同じ量だけ動いても、どの物質点同士の距離も変わらないからです。変形を知るためには、物質点どうしの相対的な位置関係がどう変わったかを見る必要があります。ここで登場するのが、ひずみです。
4. ひずみとは「点どうしの距離の変化」
ひずみは、近くにある無限小の点どうしの距離がどれだけ変わったかを表す量です。一次元の棒を引っ張るケースを例にして、10 mm離れていた点が10.1 mmになったとします。このとき伸びた長さは0.1 mmです。ひずみは伸びた長さそのものではなく、元の長さに対する割合で表します。つまり0.1 ÷ 10 = 0.01 = 1 %となります。
そして隣同士の点は実際にはつながっているので、伸ばすには力が必要になります。このとき材料の内部には力が伝わります。
応力とは、その力が単位面積あたりどれだけ作用しているかを表す量です。
距離が変化する
5. 連続体力学との接続
ひずみについて考えるとき、10 mmという例を出しました。しかし連続体力学では、どのような大きさで切り出しても同じ考え方で変形を表現できる必要があります。そのため、変化量そのものではなく、元の長さに対する割合に注目します。さらに、隣り合う点同士の距離を限りなく小さくして考えると、この割合は微分という形で表現できます。
6. 最もシンプルなひずみの式
1次元で考えると、ひずみは次のように書けます。
ε_xx≈∂u/∂x
この式の意味は、変位uが位置xによってどれくらい変わっているかを見ている、ということです。ポイントは、変位そのものではなく、変位の空間的な変化がひずみだという点です。FEMが微分を多用する理由は、変位とひずみの関係を式にするためでした。
7. 最もシンプルな応力の式
ひずみと同様に1次元で考えると、応力は次のように書けます。
σ=F/A
この式の意味は、力Ｆが面積Ａに対してどれくらい集中して作用しているかを見ている、ということです。力そのものではなく、面積あたりどれだけの力が作用しているかが応力です。
たとえば均質な一本な棒を考えたとき、
100 Nの力が100 mm²にかかる場合と、
100 Nの力が10 mm²にかかる場合では、
力の大きさは同じでも、後者の方が応力は10倍大きくなります。つまり、応力とは材料の中で力がどのように伝わっているかを表す量なのです。そして材料の変形は、この応力や拘束条件、材料の構成則などが複雑に絡み合って決まります。
8. 板成形CAEでこれが重要な理由
板成形では、金型が動き、材料が変形し、力がかかります。FEMが変位 → ひずみ → 応力という順番で評価するのとよくマッチしています。ちなみに、ひずみや応力は、特別な約束事がない限り、伸びたり引っ張ったりする方向を正、縮めたり圧縮したりする方向を負で定義します。板の厚みが縮んでいる場合は負になるので、工学的意味に従ってAutoFormでは板減がマイナス表記となります。
まとめ（第2回の要点）
• 物質点は動く
• 変位は「どこに移動したか」
• ひずみは「点どうしの距離がどう変わったか」
• 変形させるには、力が必要
• FEMは変位→ひずみ→応力という順に考える
次回ダイジェスト：第3回「要素の種類」
• 第2回では、物質点の動きから変位とひずみを整理しました。
• 第3回では、要素について触れ、その内部の変位やひずみをどのように記事するかを扱います。
• ソリッド要素とシェル要素の違いを押さえることで、第4回の薄板モデルが理解しやすくなります。
