板成形CAEの裏側を8回で読み解くコラム
AutoFormは塑性工学や計算力学的知識がなくても使いこなせることが強みのソフトウェアではありますが、ユーザーになった瞬間にソフトウェアについての説明を求められることも少なくありません。本資料では、FEMの考え方、変位・ひずみ、要素、薄板モデル、材料応答、非線形性をつなぎ、最終的に利用者から最も質問を受ける「解法の違い」について完全なブラックボックス状態から一歩だけ脱却することを目的とします。
全体構成
読み方の前提
• この連載は、数式を厳密に追うよりも「FEMが何を近似しているか」をつかむことを目的にしています。
• 内容は板成形CAEを念頭に置き、ソフトウェアのユーザー最初に持つべき全体像のみに絞っています。
• 8回まで読むと、要素とは何か、材料試験の大切さ、非線形性、解法などの理解が一歩進むことを目指します。
注意点
•本稿は、数式を厳密に導出するのではなく、FEMの全体像をつかむことを目的としています。そのため、説明を簡略化し、適用範囲や例外を省いています。学問として理解したい場合は、専門書、学会や非線形CAE勉強会、CAE技術者試験など、学術的裏付けのある体系的教育を受けていただくことをお勧めします。また説明のおおよその流れは以下の書籍を参考にしていますが、本稿独自の簡略表現を多分に含みます。
参考書籍：https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-540-88113-1
第8回 時間増分と解法
非線形問題を、一歩ずつ解いていく
第7回では、板成形CAEが材料非線形、幾何学非線形、接触非線形を同時に含むことを説明しました。これらの状態は成形の途中で次々に変わるため、最初から最後までを一度に計算することはできません。そこで、現象全体の時間を小さな区間に分け、その区間ごとに変位、ひずみ、応力、接触状態を更新していきます。この小さな区間が時間増分、またはタイムステップです。
例えば、平らなブランクが一気に最終形状へ移動させてしまうと、途中のどこで金型に触れ、いつ降伏し、どの方向へ滑ったかを判断できません。実際の計算では、現在の状態から少しだけ時間を進め、金型位置と外力を更新し、材料の応答と接触状態を計算します。その結果を次の増分の出発点として、同じ処理を繰り返します。
一歩ずつ解く
増分をどのようにとるべきかは、時間に従って変化する非線形な現象をどんな解法で解いていくかによって異なります。時を積み重ねるので時間積分と言いますが、今回はその解法についてみていきましょう。
1. 陰解法：次の状態で釣り合いを満たすまで繰り返す
陰解法では、次の増分の変位を仮定し、その状態で内力と外力がつりあっているかを調べます。つりあっていなければ変位を修正し、再び内力と接触状態を計算します。この修正を、残差が許容範囲に入るまで繰り返します。つまり、一つの増分の中で反復計算を行い、つりあい状態に収束させる方法です。
プレス成形において金型が進む量は自分で決めることができるので、金型の変位についてはほぼ決まった状態を仮定することができます。つまり定義した加工量に対してつりあう反力になるときの「材料の変形量」を計算することになります。（実際には荷重をかける金型もありますが、この記事では一旦忘れることにします。）解析対象となる現象の非線形性が強くなればなるほど収束状態を見つけることが難しくなりますが、つりあいさえ得られれば陰解法の数値計算的精度が高いと言われている理由はここにあります。AutoFormでは、解の収束（つりあい）が得られないまま次の計算ステップに進むこともできますが、次のステップで収束が得られれば再びつりあいが保証された状態に戻ることができます。非線形性が強すぎない解析分野において一般的に陰解法が採用されるのは、解の安定性が時間刻みによらず数学的に保証されているという点に尽きます。
陰解法は、すべてのステップで釣り合いを解く
陰解法において時間増分の決め方は「一度のステップで状況が大きく変わりすぎないこと」が考え方の基準になります。イメージ的には、金型が部品形状を通り過ぎててしまわないぐらいの時間刻みである必要があります。（一般的寸法の自動車部品では、1工程が3桁のステップ数になるのは稀なケース。）また非常に複雑なプレス成形という非線形現象に対して、どのように解の収束を得るか、というところが実務的には非常に重要になります。収束を得るための核となるテクノロジーは明かされていませんが、プレス成形を考えると、プレス機のストロークもある程度決まっていて、製品の寸法もある程度決まっていて、材料が移動する流入量などもある程度予測がつくため、ざっくり言うと「プレス専用のソフトウェアであること」を活かした技術で、安定して答えを出していると言えるでしょう。
そのヒントとなる部分はソフトウェアマニュアルにも一部記載がありますので、探してみても面白いかもしれません。
さて陰解法の苦手な分野とは何かと言うと、「急激かつ大幅な変化」です。爆発や衝突などのように、短時間で急激に発生する現象や、材料が文字通りぐしゃぐしゃに変形するような非常に強い非線形がある場合、陰解法では答えを見つけられないことがあります。このようなケースでは、次に紹介する陽解法が威力を発揮します。
2. 陽解法：現在の状態から次の状態を直接求める
陽解法では、現在の変位、速度、加速度、内力、外力から、次の時刻の状態を逐次計算します。非線形材料の状態や接触は各増分で更新しますが、各増分で系全体の状態を表現する連立方程式を解いたり、つりあいのための反復計算を行ったりしないため、一増分あたりの計算は軽く、複雑な接触や大変形を扱いやすいことが特徴です。
陽解法は「条件付き安定」な手法で、答えを出すためには時間増分をとあるサイズより小さく保つ必要があります。（クーラン条件という。）イメージとしては、材料中を波（応力の超音波、弾性波と読んだりする。）が伝わっていくのですが、この波が一度のタイムステップで要素一個を通り過ぎてはいけない、というのが条件になります。これがどれくらいなのかというと・・・一般的に鉄鋼材料の中を音が伝わるスピードはおよそ6000m/sほどになります。もし一番小さい要素サイズが2mmだったとすると、この条件を満たすためにはおよそ0.3マイクロ秒程度の時間刻みにする必要があります。これは、3秒の現象だと1000万ステップ必要になることを意味します。
陽解法は小さいステップを積み上げる
プレスのような準静的な問題では、この時間刻みを大きくするためのマススケーリングというテクニックもあり、実際にはこれほど細かい時間刻みが必要ではないのですが、解析対象物の密度（重さ）を実物より重く変えなくてはならない都合上、正しく慣性力をコントロールし、精度良い答えを現実的な時間内に導くためにはユーザーの高い数学的なスキルが求められます。
なお、陽解法では、安定限界を超える時間刻みを用いると数値解が不安定になり、エネルギーや変形が非物理的に増大して計算が停止することがあります。ただし、安定時間刻みを守っていても、要素の過度な変形、不適切な接触、アワーグラス、マススケーリングによる慣性影響などを監視する必要があります。もしかすると、手がかかる解法ほど、スキルのある方々からしたら「愛嬌がある」と感じるのかもしれません。
なお、利用者が気にすることではありませんが陽解法のほうがソルバーのプログラム開発は容易であるという特徴もあります。
3. 陰解法と陽解法の比較
さて、陰解法と陽解法の特徴をざっくりと理解したところで、改めて両者を比較してみます。
時間増分の処理：
▶陰解法：すべてのタイムステップで内力と外力のつりあいを確認する
▶陽解法：現在の状態からの変化量を求めて、小さな変化を積み重ねて遠い先まで予測する
増分当たりの計算量
▶陰解法：毎回材料内の状態を定義しなおすため、計算量は多い
▶陽解法：各増分は小さな変化の積み重ねであるため、一回当たりの計算量は少ない
時間刻みの大きさの目安
▶陰解法：プレスの文脈においては、部品の特徴形状を一気に突き抜けない程度、1工程で多くて100ステップ
▶陽解法：クーラン条件を満たすため、マイクロ秒単位の刻みが必要、1工程で数万から数百万ステップ
向いている課題
▶陰解法：静的～目に見える程度の低速課題、スプリングバック、精度保証が必要な課題など
▶陽解法：瞬間ともいえる高速課題、複雑で非線形性の非常に強い課題、どうしても答えが必要な課題など
比較のためこのように書きましたが、特徴を理解して正しく使い分けている範囲では、現在販売されている商用のソフトウェアにおいて陰解法と陽解法のどちらでも、問題に適した定式化、要素、材料モデル、接触条件、時間増分、収束・安定性管理を用いれば、実用上十分な精度を得られます。結果の精度に影響するのはむしろ、入力条件の正確さであるということがほとんどのケースで支配的です。
4. 解析結果を見るときのチェックポイント
これまでの内容を振り返って、解析結果をチェックするときのポイントと接続してみます。
• 部品の特徴形状に対して時間増分のサイズは適切か、金型が形状をすり抜けていないか
• 陰解法では、各計算ステップで未収束が何度も繰り返し発生していないか、残差はどれくらいか
• 変形挙動そのものや荷重履歴に不自然な振動がないか
• 陰解法においては、要素のサイズが形状を表現するのに十分か
• 陽解法においては、要素のサイズが数学的安定性を満たしているか
• 成形工程とスプリングバック工程で、適切な解法と状態受け渡しが選ばれているか
最後に
AutoFormに限らず、商用のソフトウェアのほとんどが内部で何をしているかを知らなくても業務上で使用し、結果を出すことができるようになっています。
一般社会においても、エンジンがどのようにエネルギーを生み出すか、内燃機関の熱力学を知らなくても車の運転はできます。半導体が電気信号をどのように扱い、CPUがどう演算しているかを知らなくてもパソコンは使えます。しかし、知っていることが増えると、できることが増え、より効果的に扱うことができるという実感はあるのではないでしょうか。
今回の連載で扱ったのは、FEMの知識を網羅することではなく、解析結果を考えるための地図です。結果に違和感があるとき、要素、材料、接触、拘束、増分、解法のどこを確認すべきか考えられるようになれば、ブラックボックスから一歩抜け出したと言えます。
理解が深まるにつれて、記事の中に新たな疑問や矛盾を見つけることもあるかもしれません。そこから数値計算をさらに学び、自分なりに確かめてみようと思っていただけたなら、それはそれで役に立ったと肯定的に受け止めて頂けたら幸いです。
まとめ（第8回の要点）
・非線形問題は、時間や金型移動量を小さな増分に分けて解く・
・陰解法は、各増分で内力と外力がつりあうまで反復する
・陽解法は、現在の状態から次の状態を直接計算する
・陰解法の課題は収束、陽解法の課題は安定時間増分と慣性影響の管理
・解法の名称だけでなく、増分依存性、つりあい、エネルギー、変形挙動、結果の安定性を確認することが重要
