板成形CAEの裏側を8回で読み解くコラム
AutoFormは塑性工学や計算力学的知識がなくても使いこなせることが強みのソフトウェアではありますが、ユーザーになった瞬間にソフトウェアについての説明を求められることも少なくありません。本稿では、FEMの考え方、変位・ひずみ、要素、薄板モデル、材料応答、非線形性をつなぎ、最終的に利用者から最も質問を受ける「解法の違い」について完全なブラックボックス状態から一歩だけ脱却することを目的とします。
全体構成
読み方の前提
• この連載は、数式を厳密に追うよりも「FEMが何を近似しているか」をつかむことを目的にしています。
• 内容は板成形CAEを念頭に置き、ソフトウェアのユーザー最初に持つべき全体像のみに絞っています。
• 8回まで読むと、要素とは何か、材料試験の大切さ、非線形性、解法などの理解が一歩進むことを目指します。
注意点
•本稿は、数式を厳密に導出するのではなく、FEMの全体像をつかむことを目的としています。そのため、説明を簡略化し、適用範囲や例外を省いています。学問として理解したい場合は、専門書、学会や非線形CAE勉強会、CAE技術者試験など、学術的裏付けのある体系的教育を受けていただくことをお勧めします。また説明のおおよその流れは以下の書籍を参考にしていますが、本稿独自の簡略表現を多分に含みます。
参考書籍：https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-540-88113-1
第5回 材料はどう反応するのか？
「ひずみを与えたら応力が返ってくる」約束事
ここまでの連載では、板を無限小の物質点の集まりとして考え、その点が動き、点どうしの距離が変わることを追う、というところまで来ました。今回は、その先です。ひずみが生じたとき、材料はどう反応するのか。これを決めているのが構成則です。
弾性範囲の応力とひずみの関係
1. 構成則とは「材料のルール」
構成則とは、簡単に言えば「この材料は、こういうひずみを与えたら、こういう応力を返す」という約束事です。FEMは、変位を計算し、そこからひずみを求め、構成則を使って応力を計算する、という流れで成り立っています。「ルール」を表現する式なので、構成「則」と呼びます。
2. 弾性：元に戻る反応
最も基本的な構成則が弾性です。ひずみを与えると応力が発生し、荷重を除くと元に戻る反応です。この関係は、象徴的に次のように書けます。
σ=Eε
これは、見慣れた形で表すとフックの法則と非常に近いイメージを持つことができます。
バネの例で弾性の応答を直感的に理解する
重要なのは数式そのものではなく、ひずみと応力を結びつける式が必要、という考え方です。
3. 塑性：元に戻らない反応
板成形で支配的なのは塑性です。塑性では、ある限界を超えると、負荷をやめても変形は戻りません。つまり、履歴を持つ反応になります。これにより、今どれだけ変形しているかだけでなく、これまでどう変形してきたかが重要になります。
弾性変形から塑性変形へ移るイメージ
実際のプレス成形を再現するためには、弾性から塑性への切り替わりを考慮する必要があります。さらに、塑性変形した後にスプリングバック解析をしたい場合は、永久変形と弾性回復を両方表現する必要があります。
4. 板は一本のバネではない
ひずみと応力の結びつきを考えるとき、バネの弾性変形を例に出しました。しかし実際の板はバネではなく、弾性だけでもありません。また応力やひずみの状態ごとに異なる性質を持ちます。とはいえ、根本のイメージとしては「様々な方向や塑性変形なども表現できる、比例関係でないバネ係数」を使って、ひずみと応力の関係を表現していると考えることができます。
それぞれの要素が置かれている状態に合わせて、適切なひずみと応力の関係を定義しているのが構成則です。そして要素における構成則を決めるために、さまざまな材料モデルと、それに合わせた材料パラメータの設定が必要になります。
板の中では方向や変形状態に応じて異なる応答を考える
これが材料パラメータを適切に決定できないと、実物を正しく再現できない理由です。
5. 板成形FEMで材料モデルが重要な理由
板成形FEMでは、変形のほとんどが塑性です。応力分布、板減、割れ評価、スプリングバックはすべて、構成則の選び方に強く依存します。材料の構成則は何万という要素すべてのふるまいを決定します。最終的なひずみや応力は、すべての要素の結果の積み重ねで表現されるため、要素一つ一つの性質を決める材料モデルがいかに大きな影響を持つか、重要度が想像できるのではないかと思います。ちなみに、工業的に良く利用される金属ですら完璧にすべての性質を表現することができる材料モデルは、残念ながら世界に存在していません。FEMの利用者は材料モデルを通して、現実をどう見るかを決めているのです。
まとめ（第5回の要点）
• 構成則は「材料のルール」
• 弾性は元に戻る反応
• 塑性は履歴を持つ反応
• 板成形では塑性が支配的
• 材料モデルは結果を決定づける
次回ダイジェスト：第6回「内力と外力のつりあい」
• 第5回では、変位→ひずみ→応力を求める流れを整理しました。
• 変位からひずみを求め、材料モデルから応力を計算しても、まだ解析の答えは完成していません。FEMは、それらを使って最終的に何を満たそうとしているのでしょうか。第6回では、内力と外力のつりあいから、この計算のゴールを整理します。
