板成形CAEの裏側を8回で読み解くコラム
AutoFormは塑性工学や計算力学的知識がなくても使いこなせることが強みのソフトウェアではありますが、ユーザーになった瞬間にソフトウェアについての説明を求められることも少なくありません。本稿では、FEMの考え方、変位・ひずみ、要素、薄板モデル、材料応答、非線形性をつなぎ、最終的に利用者から最も質問を受ける「解法の違い」について完全なブラックボックス状態から一歩だけ脱却することを目的とします。
全体構成
読み方の前提
• この連載は、数式を厳密に追うよりも「FEMが何を近似しているか」をつかむことを目的にしています。
• 内容は板成形CAEを念頭に置き、ソフトウェアのユーザー最初に持つべき全体像のみに絞っています。
• 8回まで読むと、要素とは何か、材料試験の大切さ、非線形性、解法などの理解が一歩進むことを目指します。
注意点
•本稿は、数式を厳密に導出するのではなく、FEMの全体像をつかむことを目的としています。そのため、説明を簡略化し、適用範囲や例外を省いています。学問として理解したい場合は、専門書、学会や非線形CAE勉強会、CAE技術者試験など、学術的裏付けのある体系的教育を受けていただくことをお勧めします。また説明のおおよその流れは以下の書籍を参考にしていますが、本稿独自の簡略表現を多分に含みます。
参考書籍：https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-540-88113-1
第6回 内力と外力のつりあい
FEMが最終的に解いているのは「力のつりあい」
これまでの回では、板を連続体として考え、変位からひずみを求め、材料モデルを使って応力を求める流れを見てきました。では、FEMは最終的に何を満たそうとしているのでしょうか。ここでは説明を簡易化するために準静的陰解法に限定して説明しますが、答えはシンプルで内力と外力がつりあう状態を探しています。
外力と内力の釣り合い
解法については最もよく質問を受けるポイントでもあるため、最終回の記事で説明します。
1. 外力と内力とは何か
外力とは、板の外側から作用する力です。板成形で考えると、パンチやダイが板を押す力、ブランクホルダーが板を押さえる力、金型と板の接触によって生じる法線力、摩擦力、液圧成形での圧力などが該当します。
内力とは、材料の各要素に発生した応力分布から計算され、節点に働く力としてまとめたものです。材料は金型と触れている部分以外でも伸びたり曲がったりして内部に応力が発生します。その応力が要素を通じて隣接部へ力を伝え、最終的に各節点自由度における力のベクトルとして組み上げ、系全体の内力としてまとめることができます。
成形している場所、変形している場所を細かく見ると、様々な場所で局所的に応力が発生するわけですが、板以外のすべてから働く力を合算したものが外力、板の中で働くすべての力を合算したものが内力ということができます。
板成形の内力と外力
ここまで見てきたように、各要素では変位からひずみを求め、構成則から応力を計算します。その応力から得られる内力を全体へ組み立て、外力との差が十分小さくなるように節点変位を求めます。つまり、内力と外力のつりあいを満たす、変形量（変位の分布）を決めるというのが全体の流れになります。
2. 基本式は「内力−外力＝0」
非線形FEMの基本的な見方は、ある時刻または増分で、内力と外力の差、つまり残差がゼロになる状態を探すことです。AutoFormのマニュアルには、陰解法のつりあい式として、内部力ベクトルと外部力ベクトルの差がゼロになる、以下の式が示されています。
R-P=0
ここではRが内力、Pが外力を示しているので、まさに内力マイナス外力がゼロであることを示す式です。直感的には、「外から押した力」と「材料が抵抗して返す力」が一致すれば、その瞬間の変形状態として成立する、という意味です。
(t+∆t)R – (t+∆t)P = 0
実際にマニュアルに記載されている式は、上のようにtという時間に関する概念が追加されていますが、これは次回、非線形についての項目で触れていきます。
さて外力とは、「パンチやダイが板を押す力、ブランクホルダーが板を押さえる力、金型と板の接触によって生じる法線力、摩擦力、液圧成形での圧力」と記載しましたが、このほとんどすべてが設定条件としてユーザーが入力する項目であることにお気づきなのではないかと思います。このつりあいを満たすことで数学的解の安定性が保証されるわけですが、左半分の入力条件を適当にした場合は、当然出てくる答えも適当なものになります。このようにごく基本的な式からも、設定条件がいかに重要なのかを感じていただけるのではないかと思います。
3. つりあいが崩れると何が起きるか
さて、ここまでは外力に対応する変位については、さもすべて既知であるかのように説明してきましたが、実際にはこの変位量は未知の値です。そのため、語弊を恐れずに書くとすると、初期段階では「適当に決めている」ことになります。計算の流れとして、最終的なゴールはつりあいを満たすことができる変形量を求めることでしたが、実際には外力と内力のつりあいをみたす、変位と変形量のバランスを見つけているということになります。また、つりあいが満たされていない状態のときは、どこかがおかしな変位量になっているということになります。つりあいが乱れている量を「残差」と呼び、この残差が一定未満の量に落ち着くまで変位や変形量を繰り返し決め直しているというのが実際の計算の流れです。そして最終的につりあっている状態に落ち着くことを、「収束する」と表現するのですが、実は計算ログには現在の計算の収束具合が細かく書き込まれていて、ユーザーも収束具合をチェックすることができるようになっています。そして、収束しなかった場合はワーニングが出力されます。
つまり、つりあいが崩れたときソフトウェア上で何が起きるか、の答えは何回も計算しなおして、それでもダメなら「ワーニングが表示される」ということになります。各ステップでの計算については、第8回でもう少しだけ詳しく触れますが、ワーニングが大量に出たときは不自然な変形がないか、計算結果を注意深く眺めましょう。
まとめ（第6回の要点）
• （準静的問題における陰解法の）FEMは最終的に、内力と外力がつりあう状態を探している
• 外力は金型、接触、摩擦、圧力など外から作用する力
• 内力は材料内部の変形に必要な力
• 非線形FEMでは、内力と外力の差がゼロになる状態を探す
• 不安定な拘束条件は、釣り合いを維持しにくい状態として理解できる
次回ダイジェスト：第7回「非線形とは何か？」
• 第6回では、内力と外力のつりあいがFEMの中心であることを整理しました。
• 第7回では、材料、形状、接触状態が変化することで、板成形がなぜ非線形問題になるのかを扱います。
• 材料非線形、幾何学非線形、接触非線形の違いと相互作用を整理します。
